Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, bài tập vận dụng - Toán lớp 10

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường tròn cực hay

I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ  gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d) nếu giá của  vuông góc với (d).

* Nhận xét: Nếu  là vectơ pháp tuyến của (d) thì  cũng là VTPT của (d).

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

* Định nghĩa

- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a² + b² ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận  là vectơ pháp tuyến.

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 (a² + b² ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng).

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ  gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d) nếu giá của  song song hoặc trùng với (d).

* Nhận xét: Nếu  là vectơ chỉ phương của (d) thì  cũng là VTCP của (d). VTCP và VTPT vuông góc với nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP  thì  là VTPT của (d).

b) Phương trình tham số của đường thẳng: 

* có dạng:  ; (a² + b² ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận  làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).

 - Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.

 - 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

* có dạng:   ; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận  làm vectơ chỉ phương.

d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x_A;y_A) và B(x_B;y_B) có dạng:

 + Nếu:  thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là:

 + Nếu: x_A = x_B: ⇒ AB: x = x_A

 + Nếu: y_A = y_B: ⇒ AB: y = y_A

e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Cho điểm M(x₀;y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Cho 2 đường thẳng (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0; và (d₂): a₂x + b₂y + c =0;

 + d₁ cắt d₂ ⇔ 

 + d₁ // d₂ ⇔  và  hoặc  và

 + d₁ ⊥ d₂ ⇔

* Lưu ý: nếu a₂.b₂.c₂ ≠ 0 thì:

 - Hai đường thẳng cắt nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng // nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu: 

II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có VTPT  = (2;-3).

* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT  = (2;-3)

⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là: 2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ pháp tuyến n

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có VTCP  = (2;-1)

* Lời giải: Vì đường thẳng  đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là  = (2;-1)

 ⇒ phương trình tham số của đường thẳng là : 

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:

 a) đi qua M(3;2) và //Δ: 

 b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ có VTCP  = (2;-1) vì (d) // Δ nên (d) nhận  = (2;-1) là VTCP, (d) qua M(3;2)

⇒ PT đường thẳng (d) là: 

b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là  = (2;-1). Đường thẳng (d) //Δ nên  = (2;-1) cũng là VTPT của (d).

⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT  = (2;-1) là:

 2(x-3) - (y-2) = 0 ⇔ 2x - y -4 = 0

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):

a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0

b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ: 

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là =(2;-5)

vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒  = (2;-5)

⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP  = (2;-5) là: 

b) Đường thẳng Δ có VTCP = (2;-1), vì d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP  làm VTPT ⇒  = (2;-1)

⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT  = (2;-1) có PTTQ là:

 2(x-4) - (y+3) = 0 ⇔ 2x - y - 11 = 0.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ  làm vectơ chỉ phương (trở về dạng toán 2).

 Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).

* Lời giải:

- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là:  = (3-1;4-2) = (2;2)

⇒ Phương trình tham số của (d) là: 

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước

- (d) có dạng: y = k(x-x₀) + y₀

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;

* Lời giải: 

- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x₀) + y₀

⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k

Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ  làm VTPT (trở về dạng toán 1).

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A(3;-1) và B(5;3)

* Lời giải:

- (d) vuông góc với AB nên nhận  = (2;4) làm vectơ pháp tuyến

- (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ:

 x_i = (x_A+x_B)/2 = (3+5)/2 = 4;

 y_i = (y_A+y_B)/2 = (-1+3)/2 = 1;

⇒ toạ độ của I(4;1)

⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là:

 2(x-4) + 4(y-1) = 0 

⇔ 2x + 4y -12 = 0

⇔ x + 2y - 6 = 0.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước

- (d) đi qua M(x_0;y₀) và tạo với Ox 1 góc ∝ (0⁰ < ∝ < 90⁰) có dạng: y = k(x-x₀) + y₀ (với k = ±tan∝

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(-1;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 45⁰.

* Lời giải: 

- Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức:

k = tan∝ = tan(45⁰) = 1.

⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là:

 y = 1.(x+1) + 2 ⇔ y = x + 3

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng

* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:

- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vuông góc với (d). (theo dạng toán 4).

- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').

Ví dụ:  Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

- (d) có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là:  = (1;2)

- (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒  =(1;2)

- PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là: 

- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:

 Thay x,y từ (d') và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

» xem thêm ví dụ: Cách tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy

Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng

 * Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:

- Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).

- M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M').

Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)

- Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(x_M';y_M'), ta có:

 ; 

⇒ x_M' = 2x_H - x_M = 2.4 - 3 = 5

⇒ y_M' = 2y_H - y_M = 2.1 - (-1) = 3

⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y - 6 = 0 là M'(5;3)

» xem thêm ví dụ: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0; và (d₂): a₂x + b₂y + c =0; ta giải hệ phương trình:

  (*)

_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d₁ // d₂

_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d₁ ≡ d₂

_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d₁ cắt d₂ và nghiệm là toạ độ giao điểm.

 Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng

a) d₁: x + y - 2 = 0; d₂: 2x + y - 3 = 0

b) d₁: x + 2y - 5 = 0; d₂: 

* Lời giải:

a) Số giao điểm của d₁ và d₂ là số nghiệm của hệ phương trình

- Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.

b) Từ PTĐT d₂ ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d₁ ta được:

 (1-4t) + 2(2+2t) - 5 = 0 ⇔ 0 = 0 ⇒ 2 đường thẳng trùng nhau (có vô số nghiệm).